Szereg ten jest zbieżny dla takich z, których część rzeczywista jest większa od 1. Za pomocą metod analizy matematycznej pojęcie to daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza z = 1. Aby określić funkcję dzeta dla z o części rzeczywistej mniejszej od 1 można posłużyć się wzorem:

Związane z funkcją dzeta Riemanna funkcja jest powszechnie znana Hipoteza Riemanna. Hipoteza Riemanna to sformułowana w 1859 roku hipoteza dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce obok hipotezy Goldbacha. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą 1/2.

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Dzeta Riemanna ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ... . Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej  zwanej prostą krytyczną
 
Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki - w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Clay Mathematics Institute ufundował nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za dowód lub obalenie hipotezy Riemanna. Hipoteza Riemanna jest 8. problemem z listy problemów Hilberta.

Ciekawostką jest, że obok hipotezy Bircha i Swinnertona-Dyera, hipoteza Riemanna jest jedną z najbardziej pociągających tez znanych człowiekowi. Historia pięknej miłości prawdziwych matematyków do świata przedstawiona jest w książce "The music of the primes"- tam też mozna bliżej poznać historię liczb i poczuć bliżej ich zapach.