Cudowny wzór Eulera "z liczbami pierwszymi" powoduje, że Ci, którzy kochają funkcję dzeta Riemanna, kochają problem bazylejski oraz liczby pierwsze. Czy to prawda?
Szereg ten jest zbieżny dla takich z, których część rzeczywista jest większa od 1. Za pomocą metod analizy matematycznej pojęcie to daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza z = 1. Aby określić funkcję dzeta dla z o części rzeczywistej mniejszej od 1 można posłużyć się wzorem:
Związane z funkcją dzeta Riemanna funkcja jest powszechnie znana Hipoteza Riemanna. Hipoteza Riemanna to sformułowana w 1859 roku hipoteza dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce obok hipotezy Goldbacha. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą 1/2.
Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Dzeta Riemanna ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ... . Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej zwanej prostą krytyczną
Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki - w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Clay Mathematics Institute ufundował nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za dowód lub obalenie hipotezy Riemanna. Hipoteza Riemanna jest 8. problemem z listy problemów Hilberta.
Ciekawostką jest, że obok hipotezy Bircha i Swinnertona-Dyera, hipoteza Riemanna jest jedną z najbardziej pociągających tez znanych człowiekowi. Historia pięknej miłości prawdziwych matematyków do świata przedstawiona jest w książce "The music of the primes"- tam też mozna bliżej poznać historię liczb i poczuć bliżej ich zapach.
Komentarze
0 comment